复合函数思想总结(集合10篇)
发表时间：2025-06-29一）复合函数思想总结
摘要：高中数学学习中，我们需要掌握很多正确的解题思路，这对于我们日常的学习来说具有指导作用。解题过程中常常运用到的数学思想包含着数形结合思想、函数思想等多种，所有的解题思想都可视为化归思想。本文将分析高中数学函数学习中化归思想的运用，结合目前的学习情况，明确正确运用化归思想的意义。
关键词：高中数学;化归思想;运用路径
针对现阶段高中教学情况，发现学习的内容并不局限于理论知识，更多的是关注我们自身能力的提升，以此提高我们思维的缜密性。化归思想可以帮助我们及时的将复杂的难题变得简单化，这样更加贴切我们的思考方式，让我们的解题难度又能降低。函数本身就是我们学习中的难点，如何合理的运用化归思想成为一个非常关键的问题。
1化归思想的基本概述
当我们面对任何问题的时候，都希望寻找合理的解决对策及时处理。在高中数学中，学习函数对于我们来说困难重重，为了更好的使我们掌握简便的解题技巧，老师们也开始积极的探索多种解题思路。化归思想就是结合着具体的题干，将函数复杂的内容简单化，这样我们便可以利用自有的知识量，选择合适的方式解决。在实际的解题过程中，我们一般认为化归思想也是一种有难度的解题方法，但是如果是缺少实际的解题思路，我们还是可以利用这样的方式。
二）复合函数思想总结
步骤1
在运用函数之前，我们肯定需要了解函数的基本语法含义，下面大家看一看它的基本语法。
函数语法: SUBTOTAL(function_num,ref1,ref2, ...)
参数：
Function_num表示1 — 11（包含隐藏值）或 101 — 111（忽略隐藏值）之间的数字，指定使用何种函数在列表中进行分类汇总计算；
ref1,ref2表示所求的单元格范围
步骤2
解语法之后，打开需要进行运算的 Excel表格，先把C列隐藏(隐藏方法：把C列右侧的单元格框线拉到与C列左侧框线重合就可以隐藏了)。
步骤3
点击H2单元格，然后在函数输入框输入：=SUBTOTAL(1,B2:G2)，点击I2单元格，然后在函数输入框输入：=SUBTOTAL(101,B2:G2)，可以求得平均数。
步骤4
然后依次在H3—H12单元格依照以上方法分别把参数 Function_num 替换为2—11，进行运算。
步骤5
同时依次在I3—I12单元格依照以上方法分别把参数 Function_num 替换为102—111，进行运算。
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三）复合函数思想总结
一般地，对于函数f(x)
(1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
(3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇(或偶)函数。
(分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义
四）复合函数思想总结
函数工作总结是一项重要的工作，通过对工作的统计分析，可以更好地了解工作的进展情况，总结工作的经验教训，为今后的工作提供参考和借鉴。统计函数工作总结是每一个职业人士必须具备的基本能力之一。
在进行函数工作总结时，首先要对工作的目标进行明确定义。明确工作的目标对于工作的开展具有重要意义，只有明确了工作目标，才能有针对性地进行工作，从而提高工作的效率和质量。在进行工作总结时，也要对工作的过程进行详细的记录和分析，包括工作的计划、执行和结果等方面，通过对工作过程的分析，可以找出工作中存在的问题和不足之处，及时进行改进和提高。
函数工作总结还需要对工作的成果进行全面的评估和分析。在评估和分析工作成果时，要考虑工作的实际效果、客观情况、问题和困难等因素，客观、公正地评价工作的成果，找出成果的优点和不足之处，并提出改进的建议和措施。通过对工作成果的评估和分析，可以及时总结经验教训，为今后的工作提供参考和指导。
除此之外，函数工作总结还需要对团队和个人的工作进行沟通和交流。在进行工作总结时，要积极主动地与团队成员和领导进行沟通和交流，共同分享工作的经验和心得体会，找出共同存在的问题和改进方向，加强团队协作和合作，推动工作的顺利进行。同时，也要对个人的工作进行自我评价和总结，找出个人存在的问题和不足之处，积极改进提高自己的工作能力和水平。
函数工作总结是一项重要的工作能力，通过对工作的统计分析和总结，可以及时总结经验教训，为今后的工作提供参考和借鉴，提高工作的效率和质量。在进行函数工作总结时，要明确工作目标，详细记录工作过程，全面评估工作成果，加强团队和个人的沟通和交流，共同推动工作的顺利进行。只有不断总结和提高，才能不断进步，取得更好的工作成绩。
五）复合函数思想总结
根据空气强迫对流冷却系统一体化设计理念,对小型轴流CPU风扇进行空气动力设计,由Fortran输出三维空间曲线文件,导入Pro/E实现实体造型.通过标准风洞对CNC铣床雕刻出的样品进行风扇性能测试.为了减少费用和缩短设计周期,利用CFD对风扇性能预测,风扇出口流向角结论为曲线型散热器设计提供依据;数值模拟结果与实验特性曲线比较吻合,为一体化数值模拟积累了经验.
作 者：杨春信 AIQI 周建辉 鲁俊勇 YANG Chun-xin AIQI ZHOU Jian-hui LU Jun-yong 作者单位：杨春信,周建辉,YANG Chun-xin,ZHOU Jian-hui(北京航空航天大学航空科学与工程学院,北京,100083)AIQI,鲁俊勇,AIQI,LU Jun-yong(奇宏子(深圳)有限公司,广东,深圳,518104)
刊 名：电子器件 ISTIC英文刊名：CHINESE JOURNAL OF ELECTRON DEVICES 年，卷(期)： 30(5) 分类号：V211.71 关键词：空气强迫对流冷却系统 风扇 风洞 计算流体力学六）复合函数思想总结
白羊座：心里还有对方
白羊座很多时候说要分开，只是因为他们心里有气，他们是想要通过这样的方式来让对方害怕，来让对方挽留。只是他们没有料到对方就答应了，所以白羊座会气呼呼的就分手。但是他们心里头其实压根就没有放下对方，所以2021年就算是分开了，还是会复合的。
双子座：没有遇到更好的
双子座会跟对方复合，就是因为他们没有遇到更好的。之前的他们总是对另一半诸多挑剔，觉得对方很不好。只是在分开了之后，他们接触过其他的异性，他们会发现对比较起来，自己的恋人已经算是十分的优秀的了。所以双子座会很卑微的，自己主动去求复合。
天蝎座：碰面机会多
天蝎座跟另一半就算是分开了，两个人还是时常会在碰面。因为他们都是坦坦荡荡的那种人，所以不会因为分手就闹掰的，两个人还是能够以朋友的身份继续相处着。而在2021年，因为接触的比较多，两个人很有可能会情愫复燃，最后还是会又重新开始。
水瓶座：朋友劝说
水瓶座是比较一根筋的那种人，所以他们有时候火气上来了，就会不管三七二十一，就会想要跟对方分手。但是在家人朋友的劝说开导下，水瓶座也是会意识到自己的错误的。所以在2021年，水瓶座会跟对方好好坐下来沟通，矛盾解决了就还是会复合走到一起的。
七）复合函数思想总结
一次函数：一次函数图像与性质是中考必考的内容之一。中考试题中分值约为10分左右题型多样，形式灵活，综合应用性强。甚至有存在探究题目出现。
主要考察内容：
①会画一次函数的图像，并掌握其性质。
②会根据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式。
③能用一次函数解决实际问题。
④考察一ic函数与二元一次方程组，一元一次不等式的关系。
突破方法：
①正确理解掌握一次函数的概念，图像和性质。
②运用数学结合的思想解与一次函数图像有关的问题。
③掌握用待定系数法球一次函数解析式。
④做一些综合题的训练，提高分析问题的能力。
函数性质：
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k.即：y=kx+b（k，b为常数，k≠0），∵当x增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。
2.当x=0时，b为函数在y轴上的'点,坐标为(0，b)。
3当b=0时(即y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
4.在两个一次函数表达式中：
当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合；当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行；当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。若两个变量x,y间的关系式可以表示成Y=KX+b(k,b为常数，k不等于0）则称y是x的一次函数图像性质
1、作法与图形：通过如下3个步骤：
（1）列表.
（2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。
正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。（3）连线，可以作出一次函数的图象一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）.
2、性质：
（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。
3、函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
4、k，b与函数图像所在象限：
y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)：
当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；当k>0,b
八）复合函数思想总结
一、函数的概念及作用
函数是程序设计中非常重要的概念，它是一段可重复使用的代码块，具有输入、处理和输出的功能。通过将程序逻辑划分为多个函数，可以提高代码的复用性和可读性，同时便于程序员进行模块化开发和维护。
函数的作用主要有以下几个方面：
1. 提高代码复用性：通过将常用的代码逻辑封装为函数，在需要的地方直接调用函数即可，避免了重复编写相同的代码。
2. 提高代码的可读性：将程序逻辑划分为多个函数，使得每个函数只关注自己的功能，从而使整个程序更易于理解和维护。
3. 降低程序的复杂性：通过函数的封装和抽象，将复杂的问题拆分为多个简单的子问题，降低了程序的复杂性，使得开发更加高效。
4. 方便程序的调试和测试：由于函数是独立的代码块，可以单独进行调试和测试，便于排查问题和验证功能是否正常。
二、函数的定义和调用
在C语言中，函数的定义包括函数的声明和函数体的实现。函数的声明告诉编译器函数的名称、返回值类型和参数列表等信息，函数体实现了函数的具体功能。
函数的调用通过在其他代码中使用函数名称和参数列表来完成。函数调用时，程序会跳转到对应的函数体执行，并在执行完毕后返回到调用点继续执行。
三、函数的参数和返回值
函数可以有参数和返回值，参数是函数执行时所需的输入，返回值是函数执行结果的输出。
函数的参数有两种类型：形式参数和实际参数。形式参数是在函数定义中声明的变量，用于接受传递给函数的实际参数。实际参数是在函数调用中传递的值，用于给形式参数赋值。
函数的返回值用于将函数执行结果返回给调用点。在函数定义时需要指定返回值类型，并在函数体中使用return语句将结果返回。
四、函数的局部变量和全局变量
函数内部可以定义局部变量，它们的作用范围仅限于函数内部，函数执行完毕后会被销毁。局部变量在函数内部起到了封装的作用，防止函数之间的变量命名冲突。
除了局部变量外，还有全局变量。全局变量在程序任何地方都可以使用，作用范围比局部变量更大。一般来说，全局变量应尽量避免使用，因为它们降低了代码的可维护性和可读性，并且容易产生意料之外的副作用。
五、函数的递归调用
函数的递归调用是指函数在执行过程中调用自身的情况。递归调用可以将复杂的问题转化为规模更小的同类型问题，通过不断递归，最终解决问题。
递归调用需要注意控制递归的终止条件，否则可能会导致无限递归，造成程序崩溃。
递归调用在某些情况下非常高效，但在一些情况下，迭代的方式更为简单和有效。
六、函数的错误处理
函数的错误处理是保证程序稳定性和可靠性的重要一环。函数在执行过程中可能会出现各种异常情况，如参数不合法、资源不足等。
为了处理这些异常情况，函数可以使用错误码或异常机制。错误码是通过返回值表示函数执行结果的一种方式，通常约定返回值为0表示执行成功，其他值表示执行失败。异常机制则是通过抛出和捕获异常来处理错误情况，可以提供更为灵活和详细的错误信息。
七、优化函数的性能
优化函数的性能有助于提高程序的运行效率和响应速度。
应尽量避免不必要的函数调用。频繁的函数调用会增加程序的开销，因此应当避免在循环中调用函数，尽量将函数调用拆分为更小的代码块。
使用内联函数可以减少函数调用的开销。内联函数是将函数体的代码直接嵌入到调用点处，避免了函数调用的开销，但也会增加代码的体积。
合理使用函数参数和返回值，可以避免频繁的内存拷贝和数据传递。
八、函数的设计原则
良好的函数设计有助于保持程序的可读性、可维护性和可扩展性。
函数应该尽量做到单一职责原则，即一个函数只负责一个功能，避免函数的功能过于复杂和混乱。
函数应该具有良好的命名和注释。函数的名称应该能够准确地描述函数的功能，注释应该清晰地说明函数的使用方法和犹豫结果。
另外，函数的参数应该尽量避免过多，可以通过结构体或类进行参数的封装和传递。
函数的设计应该考虑到程序的可测试性和可扩展性，通过模块化的方式组织函数，方便单元测试和功能的扩展。
九、总结
函数是程序设计中非常重要的概念，合理运用函数可以提高代码的复用性和可读性，降低程序的复杂性，方便调试和测试。函数的设计和使用需要考虑很多因素，如参数和返回值、错误处理、性能优化以及代码的模块化等。只有对函数有深入的理解和掌握，才能编写出高效、健壮和可扩展的程序。
九）复合函数思想总结
教学目标：
1、进一步理解的概念，能从简单的实际事例中，抽象出关系，列出解析式；
2、使学生分清常量与变量，并能确定自变量的取值范围.
3、会求值，并体会自变量与值间的对应关系.
4、使学生掌握解析式为只含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的的自变量的取值范围的求法.
5、通过的教学使学生体会到事物是相互联系的.是有规律地运动变化着的.
教学重点：了解的意义，会求自变量的取值范围及求值.
教学难点：概念的抽象性.
教学过程：
（一）引入新课：
上一节课我们讲了的概念：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的.
生活中有很多实例反映了关系，你能举出一个，并指出式中的自变量与吗？
1、学校计划组织一次春游，学生每人交30元，求总金额y（元）与学生数n（个）的关系.
2、为迎接新年，班委会计划购买100元的小礼物送给同学，求所能购买的总数n（个）与单价（a）元的关系.
解：1、y=30n
y是，n是自变量
2、 ，n是，a是自变量.
（二）讲授新课
刚才所举例子中的，都是利用数学式子即解析式表示的.这种用数学式子表示时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.如第一题中的学生数n必须是正整数.
例1、求下列中自变量x的取值范围.
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
分析：在（1）、（2）中，x取任意实数， 与 都有意义.
（3）小题的 是一个分式，分式成立的条件是分母不为0.这道题的分母是 ，因此要求 .
同理（4）小题的 也是分式，分式成立的条件是分母不为0，这道题的分母是 ，因此要求 且 .
第（5）小题， 是二次根式，二次根式成立的条件是被开方数大于、等于零. 的被开方数是 .
同理，第(6)小题 也是二次根式, 是被开方数,
.
解：（1）全体实数
（2）全体实数
（3）
（4） 且
（5）
（6）
小结：从上面的例题中可以看出的解析式是整数时，自变量可取全体实数；的解析式是分式时，自变量的取值应使分母不为零；的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数大于、等于零.
注意：有些同学没有真正理解解析式是分式时，自变量的取值应使分母不为零，片面地认为，凡是分母，只要 即可.教师可将解题步骤设计得细致一些.先提问本题的分母是什么？然后再要求分式的分母不为零.求出使成立的自变量的取值范围.二次根式的问题也与次类似.
但象第（4）小题，有些同学会犯这样的错误，将答案写成 或 .在解一元二次方程时，方程的两根用“或者”联接，在这里就直接拿过来用.限于初中学生的接受能力，教师可联系日常生活讲清“且”与“或”.说明这里 与 是并且的关系.即2与-1这两个值x都不能取.
例2、自行车保管站在某个星期日保管的自行车共有3500辆次，其中变速车保管费是每辆一次0.5元，一般车保管费是每次一辆0.3元.
（1）若设一般车停放的辆次数为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的关系式；
（2）若估计前来停放的3500辆次自行车中，变速车的辆次不小于25%，但不大于40%，试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围.
解：（1）
（x是正整数，
（2）若变速车的辆次不小于25%，但不大于40%，
则
收入在1225元至1330元之间
总结：对于反映实际问题的关系，应使得实际问题有意义.这样，就要求联系实际，具体问题具体分析.
对于 ，当自变量 时，相应的y的值是 .60叫做这个当 时的值.
例3、求下列当 时的值：
（1） （2）
（3） （4）
解：1）当 时，
（2）当 时，
（3）当 时，
（4）当 时，
注：本例既锻炼了学生的计算能力，又创设了情境，让学生体会对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应.以此加深对的理解.
（二）小结：
这节课，我们进一步地研究了有关的概念.在研究关系时首先要考虑自变量的取值范围.因此，要求大家能掌握解析式含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的的自变量取值范围的求法，并能求出其相应的值.另外，对于反映实际问题的关系，要具体问题具体分析.
作业 ：习题13.2A组2、3、5
十）复合函数思想总结
一、复合函数的求导法则证明
例如：要求f(g(x))对x的导数，且f(g(x))和g(x)均可导。
首先，根据定义：当h->0时，g'(x)=lim(g(x+h)-g(x))/h，所以，当h->0时，lim(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)->0
设v=(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)
就有：g(x+h)=g(x)+(g'(x)+v)h
同理：f(y+k)=f(y)+(f'(y)+u)k
所以，f(g(x)+[g'(x) + v]h)=f(g(x))+[f'(g(x))+v]*[g'(x)+v]h (其实就是y=g(x),k=[g'(x) + v]h)
所以，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=(f(g(x))+[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]h−f(g(x)))/h
=[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]
当h->0时，u和v都->0，这个容易看。
所以当h->0时，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=[f'(g(x))+0]·[g'(x)+0]
=f'(g(x))·g'(x)
然后f'(g(x))=f'(g(x))·g'(x)
证毕
不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当Mx∩Du≠Ø时，二者才可以构成一个复合函数。
二、复合函数的求导法则证明
例如：要求f(g(x))对x的导数，且f(g(x))和g(x)均可导。
首先，根据定义：当h->0时，g'(x)=lim(g(x+h)-g(x))/h，所以，当h->0时，lim(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)->0
设v=(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)
就有：g(x+h)=g(x)+(g'(x)+v)h
同理：f(y+k)=f(y)+(f'(y)+u)k
所以，f(g(x)+[g'(x) + v]h)=f(g(x))+[f'(g(x))+v]*[g'(x)+v]h (其实就是y=g(x),k=[g'(x) + v]h)
所以，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=(f(g(x))+[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]h−f(g(x)))/h
=[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]
当h->0时，u和v都->0，这个容易看。
所以当h->0时，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=[f'(g(x))+0]·[g'(x)+0]
=f'(g(x))·g'(x)
然后f'(g(x))=f'(g(x))·g'(x)
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