等比数列教案(合集20篇)
发表时间：2025-12-02✹ 等比数列教案 ✹
一、教材分析
《等比数列前n项和》选自北师大版高中数学必修5第一章第3节的内容。等比数列的前n项和是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续，也是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数；公式推导中蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数学问题中有着广泛的应用，如在“分期付款”等实际问题中也经常涉及到.具有一定的探究性。
二、学情分析
在认知结构上已经掌握等差数列和等比数列的有关知识。在能力方面已经初步具备运
用等差数列和等比数列解决问题的能力；但学生从特殊到一般、分类讨论的数学思想还需要进一步培养和提高。在情感态度上学习兴趣比较浓,表现欲较强,但合作交流的意识等方面尚有待加强。并且让学生在探究等比数列前n项和的过程中体会合作交流的重要性。
三、教学目标分析：
知识与技能目标：
（1）能够推导出等比数列的前n项和公式；
（2）能够运用等比数列的前n项和公式解决一些简单问题。
过程与方法目标：提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力。体会公式探求
过程中从特殊到一般的思维方法、错位相减法和分类讨论思想。
情感与态度目标：培养学生勇于探索、敢于创新的精神，磨练思维品质，从中获得成功的体验。
四、重难点的确立
《等比数列的前n项和》是这一章的重点，其中公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了多种重要的数学思想，因此，本节课的教学重点为等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用．而等比数列的前n项和公式的推导过程中用到的方法学生难以想到，因此本节课的难点为等比数列的前n项和公式的推导。
五、教学方法
为突出重点和突破难点，我将采用的教学策略为启发式和探究式相结合的教学方法，教学手段采用计算机进行辅助教学。
六、教学过程
为达到本节课的教学目标，我把教学过程分为如下6个阶段：
1、创设情境：
创设一个西游记后传的情景，即高老庄集团，由于资金短缺，决定向猴哥进行贷款，猴哥每天给八戒投资1万元，以后每天比前一天多1万，连续30天，但有一个条件：第一天返还1分，第二天返还2分，第三天返还4分后一天返还数为前一天的2倍．假如你是高老庄集团企划部的高参，请你帮八戒决策．这是一个悬念式的实例，后面的“假如”又把学生带入了实例创设的情境，营造了积极、和谐的学习气氛，使学生产生学习心理倾向，并进一步了解数学来源于生活．
2、探究问题，讲授新课：
根据创设的情景，在教师的诱导下，学生根据自己掌握的知识和经验，很快建立起两个等比数列的数学模型。提出如何求等比数列前n项和的问题，从而引出课题。通过回顾等差数列前n项和公式的推导过程，类比观察等比数列的特点，引导学生思考，如果我们把每一项都乘以2，则每一项就变成了它的后一项，引导学生比较这两个式子有许多相同的项的特点，学生自然就会想到把两式相减，进而突破了用错位相减法推到公式的难点。教师再由特殊到一般、具体到抽象的启示，正式引入本节课的重点等比数列的前n项和，请学生用错位相减法推导出等比数列前n项和公式。得出公式后，学生一起探讨两个问题，一是当q=1时Sn又等于什么，引导学生对q进行分类讨论，得出完整的等比数列前n项和公式，二是结合等比数列的通项公式,引导学生得出公式的另一形式。
3、例题讲解：
我们在讲解例题时，不仅在于怎样解，更在于为什么这样解，而及时对解题方法和规律进行概括，有利于发展学生的思维能力。本节课设置如下两种类型的例题：
1）例1是公式的直接应用，目的是让学生熟悉公式会合理的选用公式
2）等比数列中知三求二的填空题，通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用等比数列前n项和的能力.
4．形成性练习：
练习基本上是直接运用公式求和，三个练习是按由易到难、由简单到复杂的认识规律和心理特征设计的，有利于提高学生的积极性。学生练习时，教师巡查，观察学情，及时从中获取反馈信息。对学生练习中出现的独到解法提出表扬和鼓励，对其中偶发性错误进行辨析、指正。通过形成性练习，培养学生的应变和举一反三的能力，逐步形成技能。
5．课堂小结
本节课的小结从以下几个方面进行：(1)等比数列的前n项和公式
(2)推导公式的所用方法——从特殊到一般的思维方法、错位相减法和分类讨论思想。通过师生的共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力。进一步完成认知目标和素质目标。
6.作业布置
针对学生素质的差异进行分层训练，既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到拔尖和“减负”的目的。并可布置相应的研究作业，思考如何用其他方法来推导等比数列的前n项和公式，来加深学生对这一知识点的理解程度。
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在等式左边和右边同时加1,变成1+A+A^2+A^3+A^4+A^5=1001然后我们可以提取因式（1+A）,变成（1+A）*（1+A^2+A^4）=1001然后再把1001分解质因数,1001=7*11*13,然后选择其中一个数为1+A那项,则A可能为6,10,12,然后再逐个试一下.这道题虽然是等比数列的求和问题,但是可以不用等比数列求和公式,不过,我可以告诉你等比数列的求和公式：Sn=a1（1-q^n）/1-q其中,n为项数,q为公差,a1为首项.
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教学目的：1.会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的 中知道三个数求另外两个数的一些简单问题 2.提高分析、解决问题能力。 教学重点：进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式。 教学难点：灵活使用公式解决问题 教学过程： 一、复习：等比数列的有关概念，等比数列前n项和的公式二、例题 例1 已知等差数列{ }的第二项为8，前十项的和为185，从数列{ }中，依次取出 按原来的顺序排成一个新数列{ }，求数列{ }的通项公式和前项和公式 ——由题设求{bn},再分组求和法
例2 已知等比数列{an}的前n项和是2，紧接着后面的2n项的和是12，再紧接着后面的3n项的和是s，求s的值。
——（1）认真审题（紧接着…）；（2）对q的判断。
例3等比数列 前 项和与积分别为s和t，数列 的前 项和为 ，
求证：
——计算验证形的证明，按公比q=1和 两类分别计算验证。
例4设首项为正数的等比数列，它的前 项之和为80，前 项之和为6560，且前 项中数值最大的项为54，求此数列。
解：由题意
代入（1）， ，得： ，从而 ，
∴ 递增，∴前 项中数值最大的项应为第 项。
∴
∴ ，
∴ ，
∴此数列为
例5 已知数列{an}中，sn是它的前n项和，并且sn+1=4an+2,a1=1.
(1) 设bn=an+1-2an,求证数列{bn}是等比数列。
(2) 设 求证数列{cn}是等差数列；
(3) 求数列{an}的通项公式及前n项和的公式。
——思路分析（1）利用题设的递推公式和等比数列的定义证明；（2）利用等差数列的定义证明；（3）借助（2）的结论及题设的递推公式求解。 三、练习：
设数列 前 项之和为 ，若 且 ，问：数列 成等比数列吗？ 四、课后作业：《精讲精练》p132 智能达标训练。
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1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。
（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。
（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。
试题的难度有三个层次，小题多以基础题为主，解答题多以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题，难度较大。
（1）函数的思想方法
数列本身就是一个特殊的函数，而且是离散的函数，因此在解题过程中，尤其在遇到等差数列与等比数列这两类特殊的数列时，可以将它们看成一个函数，进而运用函数的性质和特点来解决问题。
（2）方程的思想方法
数列这一章涉及了多个关于首项、末项、项数、公差、公比、第n项和前n项和这些量的数学公式，而公式本身就是一个等式，因此，在求这些数学量的过程中，可将它们看成相应的已知量和未知数，通过公式建立关于求未知量的方程，可以使解题变得清晰、明了，而且简化了解题过程。
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1、导言：
本节课是由印度国王西拉谟与国际象棋发明家的故事引入的，发明者要国王在他的棋盘上的64格中的第1格放入1粒麦粒，第2格放入2粒麦粒，第3格放入4粒麦粒，第4格放入8粒麦粒……问应给发明家多少粒麦粒？
这样引入课题有以下三点好处：
（1）利用学生求知好奇心理，以一个小故事为切入点，便于调动学生学习本节课的趣味性和积极性。
（2）故事内容紧扣本节课教学内容的主题与重点。
（3）有利于知识的迁移，使学生明确知识的现实应用性。
2、讲授新课：
本节课有两项主要内容，等比数列的前n项和公式的推导和等比数列的前n项和公式及应用。
等比数列的前n项和公式的推导是本节课的难点。
依据如下：
（1）从认知领域上讲，它在陈述性知识、程序性知识与策略性知识的分类中，属于学生最高需求层次的掌握策略与方法的策略性知识。
（2）从学科知识上讲，推导属于学科逻辑中的“瓶颈”，突破这一“瓶颈”则后面的问题迎刃而解。
（3）从心理学上讲，学生对这项学习内容的“熟悉度”不高，原有知识薄弱，不易理解。
突破难点方法：
（1）明确难点、分解难点，采用层层推导延伸法，利用学生已有的知识切入，浅化知识内容。比如可以先求麦粒的总数，通过设问使学生得到麦粒的总数为，然后引导学生观察上式的特点，发现上式中，每一项乘以2后都得它的后一项，即有，发现两式右边有62项相同，启发同学们找到解决问题的关键是等式左右同时乘以2，相减得和。从而得知求等比数列前n项和……+的关键也应是等式左右各项乘以公比q，两式相减去掉相同项，得求和公式，也掌握了这种常用的数列求和方法——错位相减法，说明这种方法的用途。
（2）值得一提的是公式的证明还有两种方法：
方法二：由等比数列的定义得：运用连比定理，
后两种方法可以启发引导学生自行完成。这样学生从各种途径，用多种方法推导公式，从而培养学生的创造性思维。
等比数列前n项和公式及应用是本节课的重点内容。
依据如下：
（1）新大纲中有较高层次的要求。
（2）教学地位重要，是教学中全部学习任务中必须优先完成的任务。
（3）这项知识内容有广泛的实际应用，很多问题都要转化为等比数列的求和上来。
突出重点方法：
（1）明确重点。利用高一学生求知积极性和初步具有的数学思维能力，运用比较法来突出公式的内容（彩色粉笔板书）：，强调公式的应用范围：中可知三求二。
（2）运用纠错法对公式中学生容易出错的地方，即公式的条件，以精练的语言给予强调，并指出q=1时，。再有就是有些数列求和的项数易错，例如的项数是n+1而不是n。
（3）创设条件、充分保证。设置低、中、高三个层次的例题，即公式的直接应用、公式的变形应用和实际应用来突出这一重点。对应用题师生要共同分析讨论，从问题中抽象出等比数列，然后用公式求和。
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等比数列是数学中一种重要的数列形式，它在解决实际问题中有着广泛的应用。对于学生来说，学习等比数列不仅可以提高他们的数学能力，还可以培养他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。编写一份等比数列的教案对于教师来说是非常重要的。下面我们就来看看如何编写一份详细、具体且生动的等比数列教案。
第一节：引入
在教学等比数列时，首先应引入概念，让学生了解什么是等比数列。可以通过举例子或者图片来引入，让学生直观地感受等比数列的特点。比如可以拿一根木棍，逐步缩短成等比数列的样子，让学生看到数列中每一项之间的关系。
第二节：性质
在介绍等比数列的性质时，要结合实例，让学生能够深入理解。可以通过举例子来说明等比数列的前两项之比等于公比，以及任意两项之商也等于公比。同时要引导学生发现等比数列中每一项与公比的关系，让他们能够自己总结出性质。
第三节：求和公式
在引入等比数列的求和公式时，可以通过具体的问题来引入，让学生看到等比数列求和的实际应用。可以逐步引导学生推导求和公式的过程，让他们体会到数学的推理过程。
第四节：综合练习
在教学的最后一节，可以设计一些综合练习题，让学生巩固所学知识。可以设计一些实际问题，让学生通过建立等比数列的模型来解决问题，提高他们的实际应用能力。
通过以上的教学内容，可以使学生充分理解等比数列的概念和性质，掌握等比数列的求和公式，并能够灵活运用等比数列解决实际问题。同时，通过形象生动的教学方式，可以让学生对数学产生兴趣，培养他们的学习兴趣和数学能力。希望以上内容对编写等比数列教案有所帮助。
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教学目标
1.通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式.
2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力.
3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度.
教学重点，难点
重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.
教学用具
投影仪，多媒体软件，电脑.
教学方法
讨论、谈话法.
教学过程
一、提出问题
给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.(幻灯片)
①-2，1，4，7，10，13，16，19，
②8，16，32，64，128，256，
③1，1，1，1，1，1，1，
④243，81，27，9，3，1，
⑤31，29，27，25，23，21，19，
⑥1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，
⑦1，-10，100，-1000，10000，-100000，
⑧0，0，0，0，0，0，0，
由学生发表意见(可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类)，统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列(学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为等比数列).
二、讲解新课请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数。
这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这是我们将要研究的另一类数列等比数列. (这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步)
判断下列数列是否为等比数列?若是,找出公比;不是,请说明理由、
(1) 1, 4, 16, 32、
(2) 0, 2, 4, 6, 8.
(3) 1,－10,100,－1000,10000、
(4) 81, 27, 9, 3, 1.
(5) a, a, a, a, a.
讲解例二，进一步熟悉定义，根据定义求数列未知项。最后的小例一为了由利
用定义的求解转到利用定义证明，二为了让学生发现等比数列隔项同号的规律。 例题二
求出下列等比数列中的未知项:
(1) 2, a, 8;
(2) -4, b, c, ?;
? 已知数列 2, x, d, y,8、是等比数列
①证明数列2, d, 8.仍是等比数列、
②求未知项d.
通过两道例题的讲解，让学生有个缓冲，做个巩固练习。当然此练习的`安排，
也是为了进一步挖掘等比数列定义的本质，辨析找寻等差数列与等比数列的关系，将具体问题再推广到一般，并要求学生理解并掌握等比数列的判断证明方法。
练习
判断下列数列是等差数列还是等比数列？
(1) 22 , 2 , 1 , 2-1, 2-2 .
(2) 3 , 34 , 37, 310 .
引申：已知数列{an}是等差数列，而bn?2n
证明数列{bn}是等比数列.
由最后一例的证明，说明给出通项公式后可由定义判断该数列是否为等比数
列。反过来若数列已经是等比数列了，能否由定义导出数列通项公式呢？为下节课做铺垫。
【课堂小结】
由学生通过一堂课的学习，做个简单的归纳小结。
1理解.等比数列的定义,判断或证明数列是否为等比数列要用定义判断
2.等比数列公比q≠0,任意一项都不为零.
3.学习等比数列可以对照等差数列类比做研究.
【作业】
1.书p48. No.1,2;
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1、若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq；
2、在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”；
3、若（an）是等比数列，公比为q1，（bn）也是等比数列，公比是q2，则（a2n），（a3n）…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…（can），c是常数，（an*bn），（an/bn）是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2；
4、按原来顺序抽取间隔相等的项，仍然是等比数列；
5、等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比；
6、若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的对数）成等差，公差为log以a为底q的对数；
7、等比数列前n项之和Sn=A1（1-q^n）/（1-q）=A1（q^n-1）/（q-1）=（A1q^n）/（q-1）-A1/（q-1）（8）数列{An}是等比数列，An=pn+q，则An+K=pn+K也是等比数列，在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.注意：上述公式中A^n表示A的n次方；
8、由于首项为a1，公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。
等比数列的有关概念
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于一个常数（不为0），那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q来表示。
定义可以用公式表达为：a（n+1）/an=q（式中n为正整数，q为常数）。特别注意的是，q是一个与项数n无关的常数。
2、等比中项：
三个数 a、G、b依次组成等比数列，则G叫做的等比中项，且G2=a+b（等比中项的平方等于前项与后项之积）。
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一、教材分析
1.从在教材中的地位与作用来看
《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n项和是第一章“数列”第六节的内容，它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系。就知识的应用价值上来看，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。
2.从学生认知角度来看
从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。
3. 学情分析
教学对象是刚进入高二的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但对问题的分析缺乏深刻性和严谨性。
4. 重点、难点
教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用．
教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用．
公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。
二、目标分析
1．知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。
2.过程与方法目标：通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合的思维能力，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质。
3．情感态度与价值观：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。用数学的观点看问题，一些所谓不可理解的事就可以给出合理的解释，从而帮助我们用科学的态度认识世界。
三、教学方法与教学手段
本节课属于新授课型，主要利用计算机辅助教学，
采用启发探究，合作学习，自主学习等的教学模式.
四、教学过程分析
学生是认知的主体，也是教学活动的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，引导学生去经历知识的'形成与发展过程，结合本节课的特点，我按照自主学习的教学模式来设计如下的教学过程，目的是在教学过程中促使学生自主学习，培养自主学习的习惯和意识，形成自主学习的能力。
1．创设情境，提出问题
一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。”请在座的同学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱?
启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。
学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出：
穷人30天借到的钱：（万元）
穷人需要还的钱：?
2．学生探究，解决情境
（2）教师紧接着把如何求？的问题让学生探究，
①若用公比2乘以上面等式的两边，得到
②
若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：
(分) ≈1073(万元) ＞ 465（万元）
由此得出穷人不能向富人借钱
【设计意图】留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是很显然的事，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而培养学生的辩证思维能力．
解决情境问题：经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就可以消去了，得到： ≈1073(万元) ＞ 465（万元） 。老师强调指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以2呢？
【设计意图】经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了，让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数 学的信心，同时也为推导一般等比数列前n项和提供了方法。
3．类比联想，解决问题
这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列为，公比为q，如何求它的前n项和？让学生自主完成，然后对个别学生进行指导。
一般等比数列前n项和：
即
方法：错位相减法
这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时sn=？
在学生推导完成之后，我再问：由得
【设计意图】在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。
4．小组合作，交流展示
探究1．求和
探究2．求等比数列的第5项到第10项的和．
方法1： 观察、发现：．
方法2：此等比数列的连续项从第5项到第10项构成一个新的等比数列。
探究3：求的前n项和．
【设计意图】采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成．通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生自主学习的意识．解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨。
5.总结归纳，加深理解
以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。
1.等比数列的前n项和公式
2. 数学思想： （1）分类讨论 （2）方程思想
3.数学方法： 错位相减法
【设计意图】以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。
6．当堂检测
（1）口答：
在公比为q的等比数列中
若，则________，若，则________
若=3，=81，求q及 ，
若 ，求及q.
（2）判断是非：
① （ ）
② （ ）
③若③且，则
（ ）
【设计意图】对公式的再认识，剖析公式中的基本量及结构特征，识记公式,并加强计算能力的训练。
7．课后作业，分层练习
必做： P30习题 1—3 A组 第1题，
选作题1：求的前n项和
(2)思考题：能否用其他方法推导等比数列前n项和公式
．
【设计意图】布置弹性作业以使各个层次的学生都有所发展. 让学有余力的学生有思考的空间，便于学生开展自主学习。
五、评价分析
本节课通过推导方法的研究，使学生掌握了等比数列前n项和公式．错位相减：变加为减，等价转化；递推思想：纵横联系，揭示本质；学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性．同时通过展示交流，学生点评，教师总结，使学生既巩固了知识，又形成了技能，在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质，形成学习能力。
六、教学设计说明
1．情境设置生活化.
本着新课程的教学理念，考虑到高二学生的心理特点，让学生学生初步了解“数学来源于生活”，采用故事的形式创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生主动探究的欲望。
2．问题探究活动化．
教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦.通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性。
3．辨析质疑结构化．
在理解公式的基础上,及时进行正反两方面的“短、平、快”填空和判断是非练习.通过总结、辨析和反思，强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系。
4．巩固提高梯度化．
例题通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力；由教科书中的例题改编而成，并进行适当的变式,可以提高学生的模式识别的能力，培养学生思维的深刻性和灵活性。
5．思路拓广数学化．
从整理知识提升到强化方法，由课内巩固延伸到课外思考，变“知识本位”为“学生本位”，使数学学习成为提高学生素质的有效途径。以生活中的实例作为思考，让学生认识到数学来源于生活并应用于生活，生活中处处有数学．
6．作业布置弹性化．
通过布置弹性作业，为学有余力的学生提供进一步发展的空间，有利于丰富学生的知识，拓展学生的视野，提高学生的数学素养．
七．教学反思
学生的根据高二学生心理特点、教材内容、遵循因材施教原则和启发性教学思想，本节课的教学策略与方法我采用规则学习和问题解决策略，即“案例—公式—应用”，案例为浅层次要求，使学生有概括印象。公式为中层次要求，由浅入深，重难点集中推导讲解，便于突破。应用为综合要求，多角度、多情境中消化巩固所学，反馈验证本节教学目标的落实。
其中，案例是基础，使学生感知教材；公式为关键，使学生理解教材；练习为应用，使学生巩固知识，举一反三。
在这三步教学中，以启发性强的小设问层层推导，辅之以学生的分组小讨论并充分运用直观完整的板书和计算机课件等教辅用具、手段，改变教师讲、学生听的填鸭式教学模式，充分体现学生是主体，教师教学服务于学生的思路，而且学生通过“案例—公式—应用”，由浅入深，由感性到理性，由直观到抽象，不仅加深了学生理解巩固与应用，也培养了
思维能力。
这节课总体上感觉备课比较充分，各个环节相衔接，能够形成一节完整就为系统的课。本节课教学过程分为导入新课、公式推导、合作探究、课堂小结、当堂检测、布置作业。本节课总体上讲对于内容的把握基本到位，对学生的定位准确，教学过程中留给学生思考的时间，以学生为主体。
.亮点之处：
学生成为课堂的主体，教师要甘当学生的绿叶
由于数学的抽象、思维严谨等特点，学生往往对于一些较为复杂或者变化多样的题目容易望而生畏，出现懒得动脑思考、动笔去做的现象。教师也常因为时间的限制不可能给学生过多的时间去做“无用功”。在本节课上我放手让学生去思考，让学生去摸索。不怕学生出错，就是让学生能够在摸索中增强思维能力、解题技能和计算经验。特别是在例3中，教师针对题目做了简要的分析和提示，让学生去尝试着解题。张漫同学的板书详尽，将思路方法概括表述出来，过程完整。只是结果出现了一个小错误，教师在点评过程中给予指出，同时也个结果错误也是学生经常犯的。
✹ 等比数列教案 ✹
一、教材分析
从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n项和是第三章“数列”第五节的内容，一方面它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又为进一步学习“数列的极限”等内容作准备。
就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数列求和问题中有着广泛的应用；另外它在如“分期付款”等实际问题的计算中也经常涉及到。
就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神，是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。
教师教学用书安排“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系。
二、教学目标
依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：
知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。
过程与方法目标：通过公式的`推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质。
情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。
三、教学重点和难点
重点：等比数列的前 项和公式的推导及其简单应用。从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来看，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力。
突出重点方法：“抓三线、突重点”，即（一）知识技能线：问题情境→公式推导→公式运用；（二）过程与方法线：特殊到一般、猜想归纳→ 错位相减法等→转化、方程思想；（三）能力线：观察能力→数学思想解决问题能力→灵活运用能力及严谨态度。
难点：等比数列的前 项和公式的推导。从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高。从知识本身特点来看，等比数列前n项和公式的推导方法和等差数列的的前n项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进行，它需要对等比数列的概念和性质能充分理解并融会贯通，而知识的整合对学生来说恰又是比较困难的，而且错位相减法是第一次碰到，对学生来说是个新鲜事物。
突破难点手段：“抓两点，破难点”，即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导。
✹ 等比数列教案 ✹
一、设计思想
1、设计理念
本课的教学设计基于“人人都能获得必要得数学”即平等性的考虑，坚持面向全体学生，努力设计“适合学生发展得数学教育”，体现“人人学数学”，“不同的人学不同的数学”的理念。教学中强调“培养学生情感、态度与价值观”的重要性，注重引导学生主动地进行探索，从而帮助学生树立正确的数学观，但又与教师的设计问题与活动的引导密切结合，强调“活动”的内化，即在头脑中实现必要的重构或认知结构的重组，从而引起真正的数学思维，提高思维的效益。通过联系学生的生活实际使其真正感到数学是有意义的，一方面培养学生的社会意识，明确肯定“日常数学”的`合理性等，另一方面，再调动学生生活经验的同时，又应努力帮助他们清楚地去熟悉生活经验并上升到“学校数学”的必要性。
2、设计背景
传统的数学作业单调枯燥，脱离生活和学生实际，不利于学生个性和能力的发展。在新课程标准的理念下，重新认识作业的意义和价值，突破传统，改变现状，树立正确的作业观，创新作业方式，激发兴趣，发展学生数学素质，既注重基础知识的巩固，更要注重学生思维和能力的发展，既要创新又要保证其科学有效，使学生在做作业的过程中体验快乐、形成能力、学会合作、体验自主。
3、教材的地位与作用
本节教材在学生学习过等比数列的概念与性质的基础上，学习等比数列n前项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关求和问题。探索公式的推导、体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。本节内容基础知识和基本技能非常重要，涉及的数学思想、方法较为丰富，因此是重点内容之一。本设计是第一课时的教学内容。
二、学习目标
⑴知识与技能
掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。
⑵过程与方法
通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。 ⑶情感、态度与价值观
通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。
教学重点
教学难点
错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。
三、教学设想：
本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。设计思路如下：
四、教学过程
（一）创设问题情景
课前给出复习：等比数列的定义及性质
课首给出引例：“一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了
下来,但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,
以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后
每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但
又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。”请在座的同学思考讨论一下,穷
人能否向富人借钱
[设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者的角色中
来！]
（二）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。
学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出：
穷人30天借到的钱：S301230
穷人需要还的钱：S301222229'(130)302 465（万元）
[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!]
教师紧接着把如何求S301222229？的问题让学生探究，
S301222229 ①若用公比2乘以上面等式的两边，得到
2S30222229230②
若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：
S3023011073741823(分) ≈1073(万元)＞465（万元）
答案:穷人不能向富人借钱
（三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。
提出问题:如何推导等比数列前n项和公式？（学生很自然地模仿以上方法推导）
✹ 等比数列教案 ✹
高二等比数列的概念、通项公式、性质
教学目标：理解掌握等比数列概念；通项公式的应用，类比等差数列体会性质的生成过程，并熟练应用；
教学重、难点：本节重点在于性质的掌握难点在于通项公式和性质的应用；
1．等比数列的定义
如果一个数列从__第2项__起，每一项与它的前一项的比都等于__同一个常数__，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的__公比__，公比通常用字母__q__表示．
2．等比数列的递推公式与通项公式
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，
填表：
递推公式
通项公式
＝__q__(n≥2)
an＝__a1qn－1__
3.等比中项
(1)如果三个数x，G，y组成__等比数列__，则G叫做x和y的等比中项．
(2)如果G是x和y的等比中项，那么__G2＝xy__，即__G＝±__.
1等比数列的通项公式
例题1已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
解法二：∵a1a3＝a，∴a1a2a3＝a＝8，∴a2＝2.
从而，解之得a1＝1，a3＝4，或a1＝4，a3＝1，当a1＝1时，q＝2；当a1＝4时，q＝.故an＝2n－1，或an＝23－n.
等比数列的判定与证明
例题2 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)．
(1)求证{bn}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式．
『规律总结』判定数列是等比数列的常用方法
(1)定义法：＝q(常数)或＝q(常数)(n≥2){an}为等比数列．
(2)等比中项法a＝an·an＋2(an≠0，n∈N*){an}为等比数列．
(3)通项法：an＝a1qn－1(其中a1、q为非零常数，n∈N*){an}为等比数列．
忽视等比中项的符号致错
例题.等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5、a7的等比中项．
等比数列的性质
1．等比数列的项与序号的关系(1)两项关系通项公式的推广：an＝am·__qn－m__(m、n∈N*)．(2)多项关系项的运算性质
若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am·an＝__ap·aq__.特别地，若m＋n＝2p(m、n、p∈N*)，则am·an＝__a__.
2．等比数列的项的对称性 有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即a1·an＝a2·__an－1__＝ak·__an－k＋1__＝a(n为正奇数)．
3．等比数列的运算数列的性质
(1)若{an}是公比为q的等比数列，则①{c·an}(c是非零常数)是公比为__cq__的等比数列；②{|an|}是公比为__|q|__的等比数列．
(2)若{an}、{bn}分别是公比为q1、q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为__q1·q2__的等比数列．4．等比数列的单调性
(1)当a10，q1或a10,0q1时，等比数列{an}为递__增__数列；
(2)当a10,0q1或a10，q1时，等比数列{an}为递__减__数列；
(3)当q＝1时，数列{an}是常数列；(4)当q0时，数列{an}是摆动数列．
『规律总结』(1)若{an}为等比数列，则{}，{|an|}，{a}，{pan}(p≠0)，{anan＋k}均为等比数列；(2)若{an}，{bn}均为等比数列，则{anbn}，{}都是等比数列．
(3)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq.
(4)若等比数列的下标具有某种规律时，应考虑应用性质求解．
『规律总结』等比数列中的设项方法与技巧
(1)若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或，a，aq.
(2)若四个数成等比数列，可设为a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设，，aq，aq3.忽视等比数列中奇数项符号相同、偶数项符号相同而致错
例题3已知－7，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－4，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，求的值．
✹ 等比数列教案 ✹
一. 教学内容：
等差、等比数列的综合应用
二、教学目标：
综合运用等差、等比数列的定义式、通项公式、性质及前n项求和公式解决相关问题.
三、要点：
（一）等差数列
1. 等差数列的前 项和公式1：
2. 等差数列的前 项和公式2：
3. （m， n， p， q ∈N ）
5. 对等差数列前n项和的最值问题有两种：
（1）利用 >0，d
当 ≤0，且 二次函数配方法求得最值时n的`值。
（二）等比数列
1、等比数列的前n项和公式：
∴当 ① 或 ②
当q=1时， 时，用公式②
2、 是等比数列 不是等比数列
②当q≠－1或k为奇数时， 仍成等比数列
【模拟】
1. 已知等比数列的公比是2，且前四项的和为1，那么前八项的和为 （ ）
A. 15 B. 17 C. 19 D. 21
2. 已知数列{an=3n－2，在数列{an}中取ak2，akn ，… 成等比数列，若k1=2，k2=6，则k4的值 （ ）
A. 86 B. 54 C. 160 D. 256
3. 数列A. 750 B. 610 C. 510 D. 505
4.
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5. 若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，
则这个数列有 （ ）
A. 13项 B. 12项 C. 11项 D. 10项
6. 数列 并且 。则数列的第100项为（ ）
A. C. 7. 在等差数列{ ＝－15，公差d＝3，求数列{ 的元素个数，并求这些元素的和。
✹ 等比数列教案 ✹
知识点是在教育实践中，对某一个知识的泛称，多用于口语化，特指教科书上或考试的知识。下面是等比数列知识点总结，请参考！
a n =a 1q n -1=a 1n q =A B n (a 1q ≠0, A B ≠0)，首项：a 1；公比：q
a n q =n a m a n =q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)，q 称为公比 a n -1推广：a n =a m q n -m q n -m =
3、等比中项：
（1）如果a , A , b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：A 2=
ab 或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（
（2）数列{a n }是等比数列a n 2=a n -1a n +1
4、等比数列的前n 项和S n 公式：
（2）当q ≠1时，S n =
=a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q a 1a -1q n =A -A B n =A ' B n -A ' （A , B , A ', B ' 为常数） 1-q 1-q
5、等比数列的判定方法：
（1）用定义：对任意的n ，都有a n +1=qa n 或a n +1=q (q 为常数，a n ≠0) {a n }为等比数列 a n
（2）等比中项：a n 2=a n +1a n -1(a n +1a n -1≠0) {a n }为等比数列
（3）通项公式：a n =A B n (A B ≠0){a n }为等比数列
6、等比数列的证明方法： a 依据定义：若n =q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)或a n +1=qa n {a n }为等比数列 a n -1
7、等比数列的性质：
（2）对任何m , n ∈N *，在等比数列{a n }中，有a n =a m q n -m 。
（3）若m +n =s +t (m , n , s , t ∈N *) ，则a n a m =a s a t 。特别的，当m +n =2k 时，得a n a m =a k 2 注：a 1a n =a 2a n -1=a 3a n -2
a k （4）数列{a n }，{b n }为等比数列，则数列{}，{k a n }，{a n k }，{k a n b n }，{n （k 为非零b n a n
常数）均为等比数列。
（5）数列{a n }为等比数列，每隔k (k ∈N *) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ) 仍为等比数列
（6）如果{a n }是各项均为正数的等比数列，则数列{loga a n }是等差数列
（7）若{a n }为等比数列，则数列S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n , ，成等比数列
（8）若{a n }为等比数列，则数列a 1a 2a n ，a n +1a n +2a 2n ，a 2n +1a 2n +2a 3n 成等比数列
a 1>0，则{a n }为递增数列{（9）①当q >1时，a 1<0，则{a n }为递减数列
a 1>0，则{a n }为递减数列{②当0 ③当q =1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）； ④当q<0时, 该数列为摆动数列. （10）在等比数列{a n }中，当项数为2n (n ∈N *) 时，S 奇1= S 偶q 141、数列{a n }满足a n =-a n -1(n ≥2)，a 1=，则a 4=_________． 33 2、在数列{a n }中，若a 1=1，a n +1=2a n +1(n ≥1)，则该数列的通项a n =______________． 考点二：等比中项的应用 1、已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2=（ ） 2、若a 、b 、c 成等比数列，则函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交点的个数为（ ） 203、已知数列{a n }为等比数列，a 3=2，a 2+a 4=，求{a n }的`通项公式． 3 2911、若公比为的等比数列的首项为，末项为，则这个数列的项数是（ ） 383 2、已知等比数列{a n }中，a 3=3，a 10=384，则该数列的通项a n =_________________． 3、若{a n }为等比数列，且2a 4=a 6-a 5，则公比q =________． A ．2a 1+a 2的值为（ ） 2a 3+a 4111 B ． C． D．1 428 目的： 要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。 按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数叫做数列的项，数列的第n项an叫做数列的通项（或一般项）。由数列定义知：数列中的数是有序的，数列中的数可以重复出现，这与数集中的数的无序性、互异性是不同的。 2．数列的通项公式，如果数列{an}的通项an可以用一个关于n的公式来表示，这个公式就叫做数列的通项公式。 从映射、函数的观点看，数列可以看成是定义域为正整数集N*（或宽的有限子集）的函数。当自变量顺次从小到大依次取值时对自学成才的一列函数值，而数列的通项公式则是相应的解析式。由于数列的.项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图像是一些孤立的点。 难点： 根据数列前几项的特点，以现规律后写出数列的通项公式。给出数列的前若干项求数列的通项公式，一般比较困难，且有的数列不一定有通项公式，如果有通项公式也不一定唯一。给出数列的前若干项要确定其一个通项公式，解决这个问题的关键是找出已知的每一项与其序号之间的对应关系，然后抽象成一般形式。 1． 堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,102． 正整数的倒数 3． 4． -1的正整数次幂：-1,1,-1,1,…5． 无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,… 递增数列、递减数列；常数列；摆动数列； 有穷数列、无穷数列。 5． 实质： 从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。 6． 用图象表示： 3． 已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要例二 （P111 例二）略 四、补充例题： 写出下面数列的一个通项公式，使它的前 项分别是下列各数：1．1，0，1，0． 2． ， ， ， ， 3．7，77，777，7777 4．-1，7，-13，19，-25，31 5． ， ， ， 1．观察下面数列的特点，用适当的数填空，关写出每个数列的一个通项公式；（1） ， ， ，（ ）， ， …（2） ，（ ）， ， ， … 2．写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1、 、 、 ； （2） 、 、 、 ； （3） 、 、 、 ； （4） 、 、 、 3．求数列1，2，2，4，3，8，4，16，5，…的一个通项公式 4．已知数列an的前4项为0， ，0， ，则下列各式 ①an= ②an= ③an= 其中可作为数列{an}通项公式的是A ① B ①② C ②③ D ①②③ 5．已知数列1， ， ， ，3， …， ，…，则 是这个数列的（ ）A． 第10项 B.第11项 C.第12项 D.第21项 6．在数列{an}中a1=2,a17=66,通项公式或序号n的一次函数，求通项公式。 （1）求数列{an}的通项公式； （2）判断数列{an}的单调性。 8．在数列{an}中，an= （2）求数列{an}的最大项。 答案： 1.（1） ，an= （2） ，an= 2．（1）an= （2）an= （3）an= （4）an= 3．an= 或an= 这里借助了数列1，0，1，0，1，0…的通项公式an= 。 7．（1）an= (2)<1又an<0, ∴ 是递增数列 【教学目标】 知识目标：正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列,了解等比数列在生活中的应用。 能力目标：通过对等比数列概念的归纳，培养学生严密的思维习惯;通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维能力并进一步培养学生善于思考，解决问题的能力。 情感目标：培养学生勇于探索、善于猜想的学习态度，实事求是的科学态度，调动学生的积极情感，主动参与学习，感受数学文化。 【教学重点】 等比数列定义的归纳及运用。 【教学难点】 正确理解等比数列的定义，根据定义判断或证明某些数列是否为等比数列 【教学手段】 多媒体辅助教学 【教学方法】 启发式和讨论式相结合,类比教学. 【课前准备】 制作多媒体课件，准备一张白纸,游标卡尺。 【教学过程】 【导入】 复习回顾：等差数列的定义。 创设问题情境，三个实例激发学生学习兴趣。 1.利用游标卡尺测量一张纸的厚度.得数列a,2a,4a,8a,16a,32a.(a>0) 2.一辆汽车的售价约15万元,年折旧率约为10%,计算该车5年后的价值。得到数列15 ,15×0.9 ,15×0.92 ,15×0.93 ,…，15×0.95。 3.复利存款问题，月利率5%，计算10000元存入银行1年后的本利和。得到数列10000×1.05,10000×1.052,…,10000×1.0512. 学生探究三个数列的共同点，引出等比数列的定义。 【新课讲授】 由学生根据共同点及等差数列定义,自己归纳等比数列的定义，再由老师分析定义中的关键词句,并启发学生自己发现等比数列各项的限制条件：等比数列各项均不为零，公比不为零。 等差数列: 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用d表示.数学表达式：an+1-an=d 等比数列: 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用q表示.数学表达式：an?1 an?q 知晓定义的基础上，带领学生看书p29页，书上前面出现的`关于等比数列的实 例。让学生了解等比数列在实际生活中的应用很广泛，要认真学好。 在学生对等比数列的定义有了初步了解的基础上，讲解例一。给出具体的数列，会利用定义判断是否为等比数列。对(1)(5)两小题着重分析. 例题一 判断下列数列是否为等比数列?若是,找出公比;不是,请说明理由. (1) 1, 4, 16, 32. (2) 0, 2, 4, 6, 8. (3) 1,-10,100,-1000,10000. (4) 81, 27, 9, 3, 1. (5) a, a, a, a, a. 讲解例二，进一步熟悉定义，根据定义求数列未知项。最后的小例一为了由利 用定义的求解转到利用定义证明，二为了让学生发现等比数列隔项同号的规律。 例题二 求出下列等比数列中的未知项: (1) 2, a, 8; (2) -4, b, c, ?; 已知数列2, x, d, y,8.是等比数列 ①证明数列2, d, 8.仍是等比数列. ②求未知项d. 通过两道例题的讲解，让学生有个缓冲，做个巩固练习。当然此练习的安排， 也是为了进一步挖掘等比数列定义的本质，辨析找寻等差数列与等比数列的关系，将具体问题再推广到一般，并要求学生理解并掌握等比数列的判断证明方法。 练习 判断下列数列是等差数列还是等比数列? (1) 22 , 2 , 1 , 2-1, 2-2 . (2) 3 , 34 , 37, 310 . 引申：已知数列{an}是等差数列，而bn?2n 证明数列{bn}是等比数列。 由最后一例的证明，说明给出通项公式后可由定义判断该数列是否为等比数列。反过来若数列已经是等比数列了，能否由定义导出数列通项公式呢?为下节课做铺垫。 【课堂小结】 由学生通过一堂课的学习，做个简单的归纳小结。 1理解.等比数列的定义,判断或证明数列是否为等比数列要用定义判断 2.等比数列公比q≠0,任意一项都不为零. 3.学习等比数列可以对照等差数列类比做研究. 【作业】 1.书p48. No.1,2; a 教学目标 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题。 (1)正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列，了解等比中项的概念; (2)正确认识使用等比数列的表示法，能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项; (3)通过通项公式认识等比数列的性质，能解决某些实际问题。 2.通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质。 3.通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度。 教材分析 (1)知识结构 等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图像，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用. (2)重点、难点分析 教学重点是等比数列的定义和对通项公式的认识与应用，教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用. ①与等差数列一样，等比数列也是特殊的数列，二者有许多相同的性质，但也有明显的区别，可根据定义与通项公式得出等比数列的特性，这些是教学的重点. ②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法，但对学生来说仍然不熟悉;在推导过程中，需要学生有一定的观察分析猜想能力;第一项是否成立又须补充说明，所以通项公式的推导是难点. ③对等差数列、等比数列的综合研究离不开通项公式，因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点. 教学建议 (1)建议本节课分两课时，一节课为等比数列的概念，一节课为等比数列通项公式的应用. (2)等比数列概念的引入，可给出几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，有一种是按等差、等比来分的，由此对比地概括等比数列的定义. (3)根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解. (4)对比等差数列的表示法，由学生归纳等比数列的各种表示法. 启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征画数列的图象. (5)由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，教师只需把握课堂的节奏，作为一节课的组织者出现. (6)可让学生相互出题，解题，讲题，充分发挥学生的主体作用. 教学设计示例 课题：等比数列的概念 教学目标 1.通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式. 2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力. 3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度. 教学重点，难点 重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导. 教学用具 投影仪，多媒体软件，电脑. 教学方法 讨论、谈话法. 教学过程 一、提出问题 给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.(幻灯片) ①-2，1，4，7，10，13，16，19，… ②8，16，32，64，128，256，… ③1，1，1，1，1，1，1，… ④243，81，27，9，3，1，，，… ⑤31，29，27，25，23，21，19，… ⑥1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，… ⑦1，-10，100，-1000，10000，-100000，… ⑧0，0，0，0，0，0，0，… 由学生发表意见(可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类)，统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列(学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为等比数列). 二、讲解新课 请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数 这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这是我们将要研究的另一类数列——等比数列. (这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步) 等比数列(板书) 1.等比数列的定义(板书) 根据等比数列与等差数列的名字的区别与联系，尝试给等比数列下定义.学生一般回答可能不够完美，多数情况下，有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的.教师写出等比数列的定义，标注出重点词语. 请学生指出等比数列②③④⑥⑦各自的公比，并思考有无数列既是等差数列又是等比数列.学生通过观察可以发现③是这样的数列，教师再追问，还有没有其他的例子，让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式，学生可能说形如的数列都满足既是等差又是等比数列，让学生讨论后得出结论：当时，数列既是等差又是等比数列，当时，它只是等差数列，而不是等比数列.教师追问理由，引出对等比数列的认识： 2.对定义的认识(板书) (1)等比数列的首项不为0; (2)等比数列的每一项都不为0，即 问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件? (3)公比不为0. 用数学式子表示等比数列的定义. ①.在这个式子的写法上可能会有一些争议，如写成 项的数量关系，但能否确定一个等比数列?(不能)确定一个等比数列需要几个条件?当给定了首项及公比后，如何求任意一项的值?所以要研究通项公式. 3.等比数列的通项公式(板书) 问题：用和表示第项 ①不完全归纳法 ②叠乘法 (板书)(1)等比数列的通项公式 得出通项公式后，让学生思考如何认识通项公式. (板书)(2)对公式的认识 由学生来说，最后归结： ①函数观点; ②方程思想(因在等差数列中已有认识，此处再复习巩固而已). 这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用，请学生举例(应能编出四类问题).解题格式是什么?(不仅要会解题，还要注意规范表述的训练) 如果增加一个条件，就多知道了一个量，这是公式的更高层次的应用，下节课再研究.同学可以试着编几道题。 三、小结 1.本节课研究了等比数列的概念，得到了通项公式; 2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比; 3.用方程的思想认识通项公式，并加以应用。 探究活动 将一张很大的薄纸对折，对折30次后(如果可能的话)有多厚?不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米。 参考答案： 30次后，厚度为，这个厚度超过了世界最高的山峰——珠穆朗玛峰的高度。如果纸再薄一些，比如纸厚0.001毫米，对折34次就超过珠穆朗玛峰的高度了.还记得国王的承诺吗?第31个格子中的米已经是1073741824粒了，后边的格子中的米就更多了，最后一个格子中的米应是 粒，用计算器算一下吧(对数算也行)。 小编推荐各科教学设计： 、、、、、、、、、、、、 教学目标 1.熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题。 2.突出方程思想的应用，引导学生选择简捷合理的运算途径，提高运算速度和运算能力。3.用类比思想加深对等差数列与等比数列概念和性质的理解。教学重点与难点 用方程的观点认识等差、等比数列的基础知识，从本质上掌握公式。 例题例1 三个互不相等的实数成等差数列，如果适当排列这三个数也可以成等比数列，又知这三个数的和为6，求这三个数。例2 数列 中， , , , , ……，求 的值。例3 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两个数之和是21，中间两个数的和是18，求这四个数。例4 已知数列 的前 项的和 ，求数列 前 项的和。例5 是否存在等比数列 ，其前 项的和 组成的数列 也是等比数列？例6 数列 是首项为0的等差数列，数列 是首项为1的等比数列，设 ，数列 的前三项依次为1，1，2， （1）求数列 、 的通项公式； （2）求数列 的前10项的和。 例7 已知数列 满足， ， . (1)求证：数列 是等比数列； (2)求 的表达式和 的表达式。 作业： 1. 已知 同号，则 是 成等比数列的 （a）充分而不必要条件 （b）必要而不充分条件 （c）充要条件 （d）既不充分而也不必要条件 2. 如果 和 是两个等差数列，其中 ，那么 等于 （a） （b） （c）3 （d） 3. 若某等比数列中，前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为 (a)180 (b)108 (c)75 (d)63 4. 已知数列 ，对所有 ，其前 项的积为 ，求 的值， 5. 已知 为等差数列，前10项的和为 ，前100项的和为 ，求前110项的和 6. 等差数列 中， ， ，依次抽出这个数列的第 项，组成数列 ，求数列 的通项公式和前 项和公式。 7. 已知数列 ， ， （1）求通项公式 ； （2）若 ，求数列 的最小项的值； （3）数列 的前 项和为 ，求数列 前项的和 . 8. 三数成等比数列，若第二个数加4 就成等差数列，再把这个等差数列的第三个数加上32又成等比数列，求这三个数。 教材：数列、数列的通项公式 目的：要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。 一、从实例引入（P110） 1．堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,10 2．正整数的倒数 3． 1．数列的定义：按一定次序排列的一列数（数列的有序性） 4．分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列； 有穷数列、无穷数列。 5．实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。 例一 （P111 例一 略） 三、关于数列的通项公式 1．不是每一个数列都能写出其通项公式 （如数列3） 2．数列的通项公式不唯一 如 数列4可写成 和 3．已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要 例二 （P111 例二）略 四、补充例题：写出下面数列的一个通项公式，使它的前 项分别是下列 1．1，0，1，0 2． ， ， ， ， 3．7，77，777，7777 4．-1，7，-13，19，-25，31 5． ， ， ， 1．数列的有关概念 2．观察法求数列的通项公式 六、作业 ： 练习P112 习题 3．1（P114）1、2 《课课练》中例题推荐2 练习7、8 想了解无穷递减等比数列求和的算法，需要先介绍一下等比数列求和公式 设一个等比数列的首项是a1,公比是q，数列前n项和是Sn，当公比不为1时 Sn=a1+a1q+a1q^2+。.。+a1q^(n-1) 将这个式子两边同时乘以公比q，得 qSn=a1q+a1q^2+。.。+a1q^(n-1)+a1q^n 两式相减，得 (1-q)Sn=a1-a1q^n 所以，当公比不为1时，等比数列的求和公式为Sn=[a1(1-q^n)]/(1-q) 对 于一个无穷递减数列，数列的公比小于1,当上式得n趋向于正无穷大时，分子括号中的值趋近于1，取极限即得无穷递减数列求和公式 S=a/(1-q)✹ 等比数列教案 ✹
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